Question

已知定義在R上的奇函數，f（x）當x＞0時，f（x）=lnx-ax+1（a∈R）．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）當a＞

2

e

時，若函數y=f（x）在R上恰有5個零點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由奇函數的性質可求f（0）=0，，然后設設x＜0，則-x＞0，代入已知可求f（-x0，結合奇函數f（x）=-f（-x），可求
（2）由f（0）=0，可得除0外還有兩正數零點和兩負數零點，且關于原點對稱，則只要使方程f（x）=0在（0，+∞）恰有兩個不等實數根即可．對函數求導，當x＞0時，結合a的符號判斷函數的單調性可知，要使方程f（x）=0在（0，+∞）恰有兩個不等實數根，則f(

1

a

)＞0，代入可求
另解：當x＞0時，設a=

lnx+1

x

(x＞0)=g(x)，對g（x）求導，從而可判斷又g（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減，且x→0，g（x）→-∞；x→+∞，g（x）→0，g（x）≤1，結合函數的圖象可判斷a的范圍

解答：解：（1）因為f（x）是奇函數，且定義域為R
則f（0）=0，
設x＜0，則-x＞0，f（x）=-f（-x）=-ln（-x）-ax-1
則f(x)=

lnx-ax+1  x＞0 0              x=0 -ln(-x)-ax-1 x＜0

（2）因為函數是奇函數，f（0）=0，則除0外還有兩正數零點和兩負數零點，且關于原點對稱，
則只要使方程f（x）=0在（0，+∞）恰有兩個不等實數根即可．
當x＞0時，f′(x)=

1

x

-a，
①若a≤0時，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）遞增，不合；
②若a＞0時，令f′(x)=

1

x

-a=0得x=

1

a

，
則f（x）在(0，

1

a

)上遞增，在(

1

a

，+∞)上遞減，
要使方程f（x）=0在（0，+∞）恰有兩個不等實數根，
則f(

1

a

)=-lna＞0⇒a∈(0，1)
又因為x→0時，f（x）→-∞，
或f(

1

a+e

)=ln

1

a+e

-

a

a+e

+1＜ln

1

e

+1-

a

a+e

=-

a

a+e

＜0，
且f(

2

a

)=ln

2

a

-2+1=ln

2

a

-1＜lne-1=0(a＞

2

e

)，
則f(

1

a

)f(

1

a+e

)＜0，f(

1

a

)f(

2

a

)＜0，
故當a∈(

2

e

，1)時滿足題意．
另解：當x＞0時，
設a=

lnx+1

x

(x＞0)=g(x)，g′(x)=-

lnx

x

=0⇒x=1，
又g（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減，
且x→0，g（x）→-∞；x→+∞，g（x）→0，g（x）≤1，
再作出函數的草圖可得，0＜a＜1，又a＞

2

e

，
故當a∈(

2

e

，1)時滿足題意．

點評：本題主要考查了利用奇函數的對稱性求解函數的解析式，利用函數的導數判斷函數的單調性，求解函數的極值，求解參數的范圍，本題有一定的難度