Question

【題目】已知函數.

（1）求函數的單調區間；

（2）若函數滿足：

①對任意的， ，當時，有成立；

②對恒成立.求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）在上單調遞減， 在上單調遞增；（2）.

【解析】試題分析：本題主要考查導數的運算、利用導數研究函數的單調性和最值等性質等基礎知識，同時考查分類討論等綜合解題能力.第一問，對求導，求導后還無法直接判斷的正負，所以再次求導，得到恒大于0，則在上單調遞增，而，所以當時， ，當時， ，故在上單調遞減， 在上單調遞增；第二問，<1>由第一問函數的單調性可知， 必異號，不妨設，先證明一個結論：當時，對任意的有成立，當時，對任意的有成立，構造函數，利用函數研究函數的單調性和最值證明結論，最后得出結論，當時，當且僅當時，有成立；<2>由題意分析只需即可，通過上一步的證明，得到，而在和中取得，作差比較和的大小，從而得到，代入到上式即可.

試題解析：（1），

令，則，

從而在上單調遞增，即在上單調遞增，又，

所以當時， ，當時， ，

故在上單調遞減， 在上單調遞增.

（2）由（1）可知，當， 時， 必異號，不妨設，

我們先證明一個結論：當時，對任意的有成立；

當時，對任意的有成立.

事實上， ，

構造函數， ，

，（當且僅當時等號成立），又，

當時， ，所以在上是單調遞減， ，此時，對任意的有成立.當時， ，所以在上是單調遞增， ，此時，對任意的有成立；

當時， ，由于在上單調遞減，所以， .同理， .

當時，當且僅當時，有成立. 8分

②時，由（1）可得，

又，所以，因此得取值范圍為.

又，

構造函數， ， ，

所以在單調遞增，又，所以，當，即，

所以.

因為， ，

若要題設中的不等式恒成立，只需成立即可.

構造函數， ， ，

所以在上遞增，又，所以，由，得，

又，所以，因此的取值范圍為.