Question

【題目】已知各項都是正數的數列的前項和為，，

（1）求數列的通項公式；

（2）設數列滿足：，，數列的前項和，求證：；

（3）若對任意恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）詳見解析（Ⅲ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由和項求數列通項，注意分類討論：當，得，當時，，得數列遞推關系式，因式分解可得，根據等差數列定義得數列通項公式（Ⅱ）因為，所以利用疊加法求通項公式：，因此，從而利用裂項相消法求和得，即證得（Ⅲ）不等式恒成立問題，一般先變量分離，轉化為求對應函數最值問題：由得，而有最大值，所以

試題解析：（1）時，

是以為首項，為公差的等差數列

…4分

（2）

， ，即…………………9分

（3）由得， 當且僅當時，有最大值， ………………………………14分