Question

【題目】設函數，其中e為自然對數的底數.

（1）當a＝0時，求函數f (x)的單調減區間；

（2）已知函數f (x)的導函數f (x)有三個零點x1，x2，x3(x1 x2 x3).①求a的取值范圍；②若m1，m2(m1 m2)是函數f (x)的兩個零點，證明：x1m1x1 1.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①②證明見解析

【解析】

（1）當時,,令,即可求得單調減區間；

（2）①,令,將有三個零點轉化為有三個零點,對求導,可得的單調性,進而得到的范圍；

②將有兩個零點轉化為方程有兩個零點,則可得,,進而得到,,從而得證

（1）當時,,

,

令,可得,

的單調減區間為

（2）①由題,,

,,設,

是的三個零點,

,

當時,,則單調遞減,不符合條件；

當時,令,則,

在,單調遞增,在,單調遞減,

,

,即,

,

②是的兩個零點,令,則方程的兩根分別為,

,

,,,即,,

由①,

,

又,

,即,

故