Question

【題目】在平面直角坐標系內，動點到定點的距離與到定直線的距離之比為

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）若軌跡上的動點到定點的距離的最小值為1，求的值；

（3）設點、是軌跡上兩個動點，直線、與軌跡的另一交點分別為、，且直線、的斜率之積等于，問四邊形的面積是否為定值？請說明理由

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）是定值，面積

【解析】

（1）由兩點間距離公式和點到直線距離公式即可求出動點的軌跡的方程;

（2）利用兩點間距離公式能求出.討論在和,取得最小值為1時,其對應的是否在,即可得出答案.

（3）設, ,由,得,由點,在橢圓上,得,由此利用點到直線的距離公式、橢圓的對稱性,結合已知條件能即可求出出四邊形面積的定值.

（1）設

∵動點到定點的距離與到定直線的距離之比為

∴

化簡得:

動點的軌跡的方程為:

（2）設

由兩點間距離公式得:

①當,即時,

時,取得最小值 解得: 即

此時 ,故舍去.

②當 即:時

時, 取得最小值 解得:,(舍去)

綜上所述: .

（3）設,

整理可得:

點,在橢圓上

,

化簡可得:

直線的直線方程為

點到直線的距離

的面積:

四邊形的面積為定值