Question

【題目】已知曲線的參數方程為（為參數），，為曲線上的一動點.

（I）求動點對應的參數從變動到時，線段所掃過的圖形面積；

（Ⅱ）若直線與曲線的另一個交點為，是否存在點，使得為線段的中點？若存在，求出點坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在點滿足題意，且.

【解析】

（Ⅰ）先判斷出線段所掃過的圖形由一三角形和一弓形組成，然后通過分析圖形的特征并結合扇形的面積可得所求．（Ⅱ）設，由題意得，然后根據點在曲線上求出后可得點的坐標．

（Ⅰ）設時對應的點為時對應的點為，由題意得軸，

則線段掃過的面積.

（Ⅱ）設， ，

∵為線段的中點，

∴ ，

∵在曲線上，曲線的直角坐標方程為，

∴ ，

整理得，

∴，

∴，

∴存在點滿足題意，且點的坐標為．