Question

【題目】已知函數(shù)

（1）若，試討論的單調(diào)性；

（2）若，實(shí)數(shù)為方程的兩不等實(shí)根，求證：.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)題意得，分與討論即可得到函數(shù)的單調(diào)性；

（2）根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，得，參變分離得，

分析不等式，即轉(zhuǎn)化為，設(shè)，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得單調(diào)性，進(jìn)而得證.

（1）依題意，當(dāng)時(shí)，，

①當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)在定義域上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時(shí)，若，；若，；

故此時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2）方法1：由得

令，則，

依題意有，即，

要證，只需證（不妨設(shè)），

即證，

令，設(shè)，則，

在單調(diào)遞減，即，從而有.

方法2：由得

令，則，

當(dāng)時(shí)，時(shí)，

故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

不妨設(shè)，則，

要證，只需證，易知，

故只需證，即證

令，（），

則

==，

（也可代入后再求導(dǎo)）

在上單調(diào)遞減，，

故對(duì)于時(shí)，總有.由此得