Question

甲、乙兩人破譯一密碼，它們能破譯的概率分別為和，試求：
(1)兩人都能破譯的概率；
(2)兩人都不能破譯的概率；
(3)恰有一人能破譯的概率；
(4)至多有一人能破譯的概率；
(5)若要使破譯的概率為99%，至少需要多少乙這樣的人？

Answer 1

（1）  （2）  （3）  （4）   （5）16個

解:設事件A為“甲能譯出”，事件B為“乙能譯出”，則A、B相互獨立，從而A與、與B、與均相互獨立．
(1)“兩人都能譯出”為事件AB，則
P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
(2)“兩人都不能譯出”為事件，則
P()＝P()P()＝[1－P(A)][1－P(B)]
＝＝.
(3)“恰有一人能譯出”為事件A＋B，又A與B互斥，則P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
＝P(A)P()＋P()P(B)
＝×＋×＝.
(4)“至多一人能譯出”為事件A＋B＋，且A、B、互斥，故
P(A＋B＋)
＝P(A)P()＋P()P(B)＋P()P()
＝×＋×＋×＝.
(5)設至少需n個乙這樣的人，而n個乙這樣的人譯不出的概率為ⁿ，故n個乙這樣的人能譯出的概率為1－ⁿ≈99%.
解得n＝16.
故至少需16個乙這樣的人，才能使譯出的概率為99%.