Question

一袋中裝有大小相同的3個紅球，4個黑球，C現從中隨機取出4個球．
（Ⅰ）求取出的紅球數X的概率分布列和數學期望；
（Ⅱ）若取出一個紅球得2分，取出一個黑球得1分，求得分不超過5分的概率．

Answer 1

分析：（I）由題意知變量的可能取值是0，1，2，3，結合變量對應的事件和等可能事件的概率公式，寫出變量的概率，做出分布列和期望值．
（II）依題意可知本題是一個等可能事件的概率，當且僅當取出4個黑球或3個黑球、1個紅球時得分不超過5分，根據上一問做出的事件總數，做出概率．

解答：解：（Ⅰ）依題意得，變量的可能取值是0，1，2，3
p(X=0)=

C 4 4

C 4 7

=

1

35

；p(X=1)=

C 3 4 • C 1 3

C 4 7

=

12

35

；
p(X=2)=

C 2 4 • C 2 3

C 4 7

=

18

35

；p(X=3)=

C 1 4 • C 3 3

C 4 7

=

4

35

．
∴分布列如下：

X	0	1	2	3
P	1 35	12 35	18 35	4 35

∴數學期望EX=0×

1

35

+1×

12

35

+2×

18

35

+3×

4

35

=

12

7

（Ⅱ）依題意可知本題是一個等可能事件的概率，
當且僅當取出4個黑球或3個黑球、1個紅球時得分不超過5分，
∴概率為p=

C 4 4 + C 3 4 C 1 3

C 4 7

=

13

35

．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，在解題的過程中，注意變量對應的事件，結合事件和等可能事件的概率公式來求解，本題是近幾年新課標高考卷中一定出現的一個題目類型．