Question

已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

），且y=f（x）的最大值為2，其圖象的相鄰兩對稱軸的距離為4，并過點（1，2）．
（1）求φ的值；
（2）計算f（1）+f（2）+…f（2013）．

Answer 1

考點：正弦函數的圖象

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（1）由y=f（x）的最大值為2，A＞0．得A=2．又由其圖象相鄰兩對稱軸間的距離為4，ω＞0，得ω=

π

4

．由y=f（x）過（1，2）點，可得φ的值；
（2）由f（x）=2sin（

π

4

x+

π

4

）．得f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）+f（8）=2+

2

+0-

2

-2-

2

+0+

2

=0．
又由y=f（x）的周期為8，2013=8×251+7，可得f（1）+f（2）+…+f（2013）的值．

解答： 解：（1）∵y=f（x）的最大值為2，A＞0．
∴A=2．
又∵其圖象相鄰兩對稱軸間的距離為4，ω＞0，
∴

1

2

×

2π

ω

=4．
∴ω=

π

4

．
∴f（x）=2sin（

π

4

x+φ）．
∵y=f（x）過（1，2）點，
∴2=2sin（

π

4

+φ）．
∴

π

4

+φ=2kπ+

π

2

，k∈Z
∴φ=2Kπ+

π

4

，k∈Z
又∵0＜φ＜

π

2

，
∴φ=

π

4

．
（2）∵f（x）=2sin（

π

4

x+

π

4

）．
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）+f（8）=2+

2

+0-

2

-2-

2

+0+

2

=0．
又∵y=f（x）的周期為8，2013=8×251+7，
∴f（1）+f（2）+…+f（2013）=f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）=2+

2

+0-

2

-2-

2

+0=-

2

．

點評：本題考查三角函數的最值，三角函數的周期性及其求法，y=Asin（ωx+φ）中參數的物理意義，通過題目條件，正確求出函數的表達式，挖掘條件，利用周期正確解答是解好三角函數題目的關鍵，本題考查計算能力，屬于基本知識的考查．