Question

【題目】如圖，已知四棱錐P-ABCD，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB,E為PD的中點.

（I）證明：CE∥平面PAB；

（II）求直線CE與平面PBC所成角的正弦值

Answer 1

【答案】（I）見解析；（II）.

【解析】試題本題主要考查空間點、線、面位置關系，直線與平面所成的角等基礎知識，同時考查空間想象能力和運算求解能力。滿分15分。

（Ⅰ）取PA中點F，構造平行四邊形BCEF，可證明；（Ⅱ）由題意，取BC，AD的中點M，N，可得AD⊥平面PBN，即BC⊥平面PBN，過點Q作PB的垂線，垂足為H，連結MH．可知MH是MQ在平面PBC上的射影，所以∠QMH是直線CE與平面PBC所成的角．依此可在Rt△MQH中，求∠QMH的正弦值．

試題解析：

（Ⅰ）如圖，設PA中點為F，連接EF，FB．

因為E，F分別為PD，PA中點，所以且，

又因為， ，所以且，

即四邊形BCEF為平行四邊形，所以，

因此平面PAB．

（Ⅱ）分別取BC，AD的中點為M，N．連接PN交EF于點Q，連接MQ．

因為E，F，N分別是PD，PA，AD的中點，所以Q為EF中點，

在平行四邊形BCEF中，MQ//CE．

由△PAD為等腰直角三角形得PN⊥AD．

由DC⊥AD，N是AD的中點得BN⊥AD．

所以AD⊥平面PBN，

由BC//AD得BC⊥平面PBN，

那么平面PBC⊥平面PBN．

過點Q作PB的垂線，垂足為H，連接MH．

MH是MQ在平面PBC上的射影，所以∠QMH是直線CE與平面PBC所成的角．

設CD=1．

在△PCD中，由PC=2，CD=1，PD=得CE=，

在△PBN中，由PN=BN=1，PB=得QH=，

在Rt△MQH中，QH=，MQ=，

所以sin∠QMH=，

所以直線CE與平面PBC所成角的正弦值是．