Question

已知拋物線和雙曲線都經(jīng)過點(diǎn)M（1，2），它們在x軸上有共同焦點(diǎn)，雙曲線的對稱軸是坐標(biāo)軸，拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求這兩條曲線的方程；
（2）直線l過x軸上定點(diǎn)N（異于原點(diǎn)），與拋物線交于A、B兩點(diǎn)且以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，試求出定點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)拋物線方程為y²=2px（p＞0），將M（1，2）代入，可求拋物線方程．利用雙曲線的定義可求雙曲線方程；
（2）設(shè)l方程為x=ty+m與拋物線方程聯(lián)立得y²-4ty-4m=0，利用以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，即x₁x₂+y₁y₂=0，從而求出定點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)拋物線方程為y²=2px（p＞0），將M（1，2）代入得P=2．∴拋物線方程為y²=4x，焦點(diǎn)為F（1，0）由題意知雙曲線的焦點(diǎn)為F₁（-1，0）F₂（1，0）∴c=1
對于雙曲線，2a=||MF1|-|MF2||=2

2

-2∴a=

2

-1(a)2=3-2

2

(b)2=2

2

-2
∴雙曲線方程為

x2

3-2 2

-

y2

2 2 -2

=1
（2）設(shè)l方程為x=ty+m聯(lián)立

x=ty+m y2=4x

得y²-4ty-4m=0
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）則

y1+y2=4t y1y2=-4m

∴x1x2=

y12

4

•

y22

4

=m2
∵以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴m²-4m=0，∴m=4，∴N的坐標(biāo)為（4，0）

點(diǎn)評：本題主要考查利用待定系數(shù)法求拋物線、雙曲線方程，同時(shí)考查恒過定點(diǎn)問題，注意挖掘題目隱含，將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化．