Question

設命題p：實數x滿足（x-a）（x-3a）＜0，其中a＞0；命題q：數x滿足2≤x≤3．
（1）若a=1，且p∧q為真命題，求實數x的取值范圍；
（2）若￢p是￢q的充分不必要條件，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當a=1時，利用且p∧q為真命題，確定條件，即可求實數x的取值范圍；
（2）將￢p是￢q的充分不必要條件，轉化為q是p的充分不必要條件，建立條件關系，即可求實數a的取值范圍．

解答：解：（1）由已知（x-3a）（x-a）＜0，又a＞0，
∴a＜x＜3a，
當a=1時，1＜x＜3，即p為真時實數x的取值范圍是1＜x＜3．
由已知q為真時實數x的取值范圍是2≤x≤3．
若p∧q為真，則p真且q真，
∴實數x的取值范圍是2≤x＜3．
（2）若?p是?q的充分不必要條件，
由命題的等價性可知：q是p的充分不必要條件，
即q⇒p，且p⇒q不成立，
設A={x|2≤x≤3}，B={x|a＜x＜3a}，
則

a＜2 3a＞3

，
解得1＜a＜2，
∴實數a的取值范圍是（1，2）．

點評：本題主要考查復合命題的應用，利用逆否命題的等價性將￢p是￢q的充分不必要條件，轉化為q是p的充分不必要條件是解決本題的關鍵．