Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面， ， ， ， 為中點．

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）在棱上是否存在點，使得？若存在，求的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（I）詳見解析；（II）；（III）.

【解析】試題分析：

(1)利用題意證得，然后由線面平行的判斷定理可得平面.

(2)建立空間直角坐標系，利用平面向量的法向量可得二面角的余弦值為.

(3)探索性問題，利用空間向量的結論可得在棱上存在點，使得，

此時．

試題解析：

（Ⅰ）證明：設與的交點為，連接.

因為為矩形，所以為的中點，

在中，由已知為中點，

所以，

又平面， 平面，

所以平面.

（Ⅱ）解：取中點，連接.

因為是等腰三角形， 為的中點，

所以，

又因為平面平面，

因為平面， ，

所以平面．

取中點，連接，

由題設知四邊形為矩形，

所以，

所以．　

如圖建立空間直角坐標系，則， ， ， ， ， ， .， .

設平面的法向量為，則即

令，則， ，所以.

平面的法向量為，

設， 的夾角為，所以.

由圖可知二面角為銳角，

所以二面角的余弦值為.

（Ⅲ）設是棱上一點，則存在使得．

因此點， ， ．

由，即．

因為，所以在棱上存在點，使得，

此時．