Question

已知向量

m

=（sinx，-1），

n

=（cosx，

3

2

），f（x）=（

m

+

n

）•

m

．
（1）當x∈[0，

π

2

]時，求函數y=f（x）的值域；
（2）銳角△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，若5a=4

2

c，b=7

2

，f（

B

2

）=

3 2

10

，求邊a，c．

Answer 1

分析：（1）由向量和三角函數的運算可得f（x）的解析式，由x的范圍可得函數的值域；
（2）由（1）可得sinB-cosB=

3 2

5

，聯立sin²B+cos²B=1，解之可得cosB，在△ABC中由余弦定理和已知可得關于ac的方程組，解之可得．

解答：解：（1）∵

m

=（sinx，-1），

n

=（cosx，

3

2

），
∴

m

+

n

=（sinx+cosx，

1

2

），
∴f（x）=（

m

+

n

）•

m

=（sinx+cosx）sinx-

1

2

=sin²x+cosxsinx-

1

2

=

1-cos2x

2

+

1

2

sin2x-

1

2

=

1

2

（sin2x-cos2x）=

2

2

sin（2x-

π

4

），
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
∴sin（2x-

π

4

）∈[-

2

2

，1]，
∴f（x）=

2

2

sin（2x-

π

4

）∈[-

1

2

，

2

2

]；
（2）由題意可得f（

B

2

）=

1

2

（sinB-cosB）=

3 2

10

，
化簡可得sinB-cosB=

3 2

5

，聯立sin²B+cos²B=1，
解之可得

sinB= 7 2 10 cosB= 2 10

，（B為銳角）
在△ABC中由余弦定理可得b²=a²+c²-2accosB
代入數據可得98=a2+c2-

2

5

ac，聯立5a=4

2

c，
可解得a=8，c=5

2

點評：本題考查平面向量數量積的運算，涉及三角形的正余弦定理的應用，屬中檔題．