Question

若將邊長為2的正方形ABCD沿對角線BD折成一個直二面角，且EA⊥平面ABD，AE=a（如圖）．
（Ⅰ）若，求證：AB∥平面CDE；
（Ⅱ）求實數a的值，使得二面角A-EC-D的大小為60°．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）建立空間直角坐標系，確定平面CDE的一個法向量，利用數量積為0，即可證得AB∥平面CDE；  
（Ⅱ）確定平面CDE的一個法向量，平面AEC的一個法向量為，利用二面角A-EC-D的大小為60°，結合向量的夾角公式，即可求求實數a的值．
解答：（Ⅰ）證明：如圖建立空間直角坐標系，則
A（0，0，0），B（2，0，0），C（1，1，），D（0，2，0），E（0，0，），
∴（2分）
設平面CDE的一個法向量為，
則有，
取時，（4分）
∴，又AB不在平面CDE內，所以AB∥平面CDE；    （7分）
（Ⅱ）解：如圖建立空間直角坐標系，則A（0，0，0），B（2，0，0），C（1，1，），D（0，2，0），E（0，0，a），∴，
設平面CDE的一個法向量為，則有，
取z=2時，（9分）
又平面AEC的一個法向量為，（10分）
∵二面角A-EC-D的大小為60°，∴，
即，解得（13分）
又a＞0，所以．        （14分）
點評：本題考查線面平行，考查面面角，考查利用空間向量解決立體幾何問題，確定平面的法向量是關鍵，屬于中檔題．