Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知的方程為，平面內(nèi)兩定點(diǎn)、．當(dāng)的半徑取最小值時(shí)：

（1）求出此時(shí)的值，并寫(xiě)出的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）在軸上是否存在異于點(diǎn)的另外一個(gè)點(diǎn)，使得對(duì)于上任意一點(diǎn)，總有為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明你的理由；

（3）在第（2）問(wèn)的條件下，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）,（2）點(diǎn)F的坐標(biāo)為,定值為2（3）

【解析】分析：（1）運(yùn)用配方和二次函數(shù)的最值求法，即可得到所求圓的方程；（2）設(shè)P（x，y），定點(diǎn)F（m，0）（m為常數(shù)），運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，化簡(jiǎn)整理，再由恒等式的性質(zhì)，即可得到定點(diǎn)F的坐標(biāo)和的定值；（3）由上問(wèn)可知對(duì)于⊙C上任意一點(diǎn)P總有，可得||PG|﹣|PF||≤|FG|（當(dāng)P、F、G三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)），又，故2|PG|﹣|PE|∈[﹣5，5]．化簡(jiǎn)μ的關(guān)系式，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，即可得到所求范圍．

詳解：

（1）⊙C的標(biāo)準(zhǔn)式為： ，

當(dāng)時(shí)，⊙C的半徑取最小值，此時(shí)⊙C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）設(shè)，定點(diǎn)（m為常數(shù)），則．

∵，∴，代入上式，

得： ．

由于λ取值與x無(wú)關(guān)，∴（舍去）．

此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)為， 即；

（3）由上問(wèn)可知對(duì)于⊙C上任意一點(diǎn)P總有，

故，

而（當(dāng)P、F、G三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)），

又，故．

∴

，

令，則，

根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可得： ．