Question

已知圓，直線．
（Ⅰ）若與相切，求的值；
（Ⅱ）是否存在值，使得與相交于兩點，且（其中為坐標原點），若存在，求出，若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）m=9±2

試題分析：(Ⅰ)由圓方程配方得(x+1)²+(y－3)²=9，
圓心為C(－1，3)，半徑為 r = 3，         2分
若 l與C相切，則得=3，
∴(3m－4)²=9(1+m²)，∴m =．    5分
(Ⅱ)假設存在m滿足題意。
由，消去x得
(m²+1)y²－(8m+6)y+16=0，
由△=(8m+6)²－4(m²+1)·16>0，得m>，   8分
設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，則y₁+y₂=，y₁y₂=．
OA·OB=x₁x₂+y₁y₂
=(3－my₁)(3－my₂)+y₁y₂
=9－3m(y₁+y₂)+(m²+1)y₁y₂
=9－3m·+(m²+1)·
=25－=0         10分
24m²+18m=25m²+25，m²－18m+25=0，
∴m=9±2，適合m>，
∴存在m=9±2符合要求．
點評：直線與圓相切，一般用圓心到直線的距離等于圓的半徑，本題直線與圓相交聯立方程利用韋達定理可得到焦點坐標與方程的關系，進而可將向量坐標化化簡