Question

某港口的水深（米）是時間（0≤≤24，單位：小時）的函數，下面是不同時間的水深數據：

根據上述數據描出的曲線如圖所示，經擬合，該曲線可近似地看成正弦函數的圖像．

（1）試根據以上數據，求出的表達式；

（2）一般情況下，船舶航行時，船底離海底的距離不少于4．5米時是安全的，如果某船的吃水深度（船底與水面的距離）為7米，那么該船在什么時間段能夠安全進港?若該船欲當天安全離港，則在港內停留的時間最多不能超過多長時間?（忽略進出港所用的時間）?

Answer 1

⑴⑵船舶要在一天之內在港口停留時間最長，就應從凌晨1點（1點到5點都可以）進港，而下午的17點（即13點到17點之間）前離港，在港內停留的時間最長為16小時

解析:

（1）從擬合曲線可知：函數在一個周期內由最大變到最小需9－3＝6小時，此為半個周期，所以函數的最小正周期為12小時，因此．

　　又當時，；時，；故

于是所求的函數表達式為了．

 （2）由于船的吃水深度為7米，船底與海底的距離不少于4．5米,故在船舶航行時水深應大于等于7＋4．5＝11．5（米）．

令

故

取＝0，則1≤≤5；取＝1，則13≤≤17；而取＝2時，則25≤≤29（不合題意）．

從而可知船舶要在一天之內在港口停留時間最長，就應從凌晨1點（1點到5點都可以）進港，而下午的17點（即13點到17點之間）前離港，在港內停留的時間最長為16小時．