Question

【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數方程是（為參數），曲線的直角坐標方程為，將曲線上的點向下平移1個單位，然后橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到曲線．

（1）求曲線和曲線的直角坐標方程；

（2）若曲線和曲線相交于兩點，求三角形的面積．

Answer 1

【答案】（1）：，：；（2）

【解析】

（1）將曲線的參數方程參數消掉，得出其直角坐標方程，由平移變換和伸縮變換得出曲線的直角坐標方程；

（2）將曲線的參數方程化成標準參數方程，并代入曲線方程，由參數的幾何意義以及點到直線的距離公式，即可得出三角形的面積．

（1）由可知，曲線的直角坐標方程為，即

將曲線上的點向下平移1個單位，可得

由伸縮變換，得，則，即

即曲線的直角坐標方程為．

（2）將曲線的參數方程化成標準參數方程為（為參數），

帶入曲線，有，設對應的參數分別為，則，，

所以

因為點到曲線的距離為

所以三角形的而積等于．