Question

已知函數圖象上一點處的切線方程為.
（1）求的值；
（2）若方程在內有兩個不等實根，求的取值范圍（其中為自然對數的底數）；（3）令，若的圖象與軸交于（其中），的中點為，求證：在處的導數

Answer 1

（1）；（2）；（3）詳見解析.

解析試題分析：（1）屬于簡單題，利用函數在的導數值為斜率求解；（2）轉化為函數與軸有2個交點，進來轉化為求函數的最大值與最小值問題，利用導數判函數的單調性滿足即可；（3）利用反證法求解，假設成立，由條件滿足，利用第1、2個條件求解值，結合第4個條件得到，再利用函數的單調性充分證明假設錯誤，進而得證在處的導數.
試題解析：（1）
且
解得                              3分
（2），令
則
令，得舍去).
當時，
是增函數；
當時，
是減函數；                              5分
于是方程在內有兩個不等實根的充要條件是：.
即                              9分
（3）由題意
假設結論成立，則有：
                           11分
①-②，得

由④得

即，即⑤                  13分
令
則
在（0，1）增函數，

⑤式不成立，與假設矛盾.
                               14分
考點：1.利用導數判函數的單調性；2.函數的最值求解；3.反證法思想.