提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度
（單位：千米/小時）是車流密度
（單位：輛/千米）的函數．當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0千米/小時；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時．研究表明：當
時，車流速度是車流密度的一次函數．
（Ⅰ）當
時，求函數
的表達式；
（Ⅱ）當車流密度為多大時，車流量（單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數，單位：輛/小時）
可以達到最大，并求出最大值.（精確到1輛/小時）.
（Ⅰ）
；（Ⅱ）當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3333輛/小時．
解析試題分析：（Ⅰ）根據題意, ：當
時，
,當時，是一次函數, 可設為
，將
與
代入求出
即可；（Ⅱ）分段函數最值分段求, 當時，
為增函數，故當
時，其最大值為
,當時，是二次函數,利用二次函數性質,求出最大值,然后比較,誰最大為誰.
試題解析：（Ⅰ）由題意：當時，；當時，設，顯然在
是減函數，由已知得
，解得
,故函數的表達式為
（Ⅱ）依題意并由（Ⅰ）可得
,當時，為增函數，故當時，其最大值為；當時，
，當且僅當
，即
時，等號成立．所以，當時，在區間上取得最大值
．
綜上，當時，在區間
上取得最大值
，
即當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3333輛/小時．
考點：1、求函數解析式, 2、求二次函數最大值.
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
圖象上一點
處的切線方程為
.
（1）求
的值；
（2）若方程
在
內有兩個不等實根，求
的取值范圍（其中
為自然對數的底數）；（3）令
，若
的圖象與
軸交于
（其中
），
的中點為
，求證：在
處的導數
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，在半徑為
、圓心角為
的扇形的弧上任取一點
，作扇形的內接矩形
，使點
在
上，點
在
上，設矩形的面積為
，
（Ⅰ）按下列要求求出函數關系式：
①設
，將表示成
的函數關系式；
②設
，將表示成
的函數關系式；
（Ⅱ）請你選用（1）中的一個函數關系式，求出的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（本小題滿分13分）某沿海地區養殖的一種特色海鮮上市時間僅能持續5個月，預測上市初期和后期會因供應不足使價格呈持續上漲態勢，而中期又將出現供大于求，使價格連續下跌．現有三種價格模擬函數：①
；②
；③
．（以上三式中
均為常數，且
）
（1）為準確研究其價格走勢，應選哪種價格模擬函數(不必說明理由)
（2）若
，
，求出所選函數
的解析式（注：函數定義域是
．其中
表示8月1日，
表示9月1日，…，以此類推）；
（3）在（2）的條件下研究下面課題：為保證養殖戶的經濟效益，當地政府計劃在價格下跌期間積極拓寬外銷，請你預測該海鮮將在哪幾個月份內價格下跌．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
某工廠某種產品的年固定成本為250萬元，每生產
千件，需另投入成本為
，當年產量不足80千件時，
（萬元）.當年產量不小于80千件時，
（萬元）.每件商品售價為0.05萬元.通過市場分析，該廠生產的商品能全部售完.
（Ⅰ）寫出年利潤
（萬元）關于年產量（千件）的函數解析式；
（Ⅱ）年產量為多少千件時，該廠在這一商品的生產中所獲利潤最大？
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
和點
，過點
作曲線
的兩條切線
、
，切點分別為
、
．
（Ⅰ）設
，試求函數
的表達式；
（Ⅱ）是否存在
，使得、與
三點共線．若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，若對任意的正整數
，在區間
內總存在
個實數
，
，使得不等式
成立，求
的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
對于在區間 [ m，n ] 上有意義的兩個函數
與
，如果對任意
，均有，則稱與在 [ m，n ] 上是友好的，否則稱與在 [ m，n ]是不友好的．現有兩個函數
與
（a > 0且
），給定區間
．
（1）若
與
在給定區間上都有意義，求a的取值范圍；
（2）討論與在給定區間上是否友好．
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是常數
且
）在區間
上有
的值；
當
時，求
的取值范圍；
在一個周期內的部分對應值如下表：
的解析式；
，
，求
的最大值和最小值．