Question

如圖，在直角坐標系xoy中，AB是半圓O：x²+y²=1（y≥0）的直徑，點C是半圓O上任一點，延長AC到點P，使CP=CB，當點C從點B運動到點A時，動點P的軌跡的長度是（　　）

A．2π

B． 2 π

C．π

D．4 2 π

Answer 1

連結BP，根據題意可得△BCP是以C為直角頂點的等腰直角三角形．
∴∠APB=45°，即直線PA到PB的角為45°，
設P（x，y），可得k_PA=

y

x+1

，k_PB=

y

x-1

，
∴tan45°=

y x-1 - y x+1

1+ y x-1 • y x+1

=1，
化簡得x²+（y-1）²=2．
∴點P的軌跡方程為x²+（y-1）²=2，
由已知y≥0可得k_PA=

y

x+1

＞0，
可知P點的軌跡是以（0，1）為圓心、半徑r=

2

的半圓，
可得軌跡的長度是

1

2

×2πr=

2

π．
故選：B