Question

已知A（8，0），B、C兩點分別在y軸上和x軸上運動，并且滿足

AB

•

BP

=0，

BC

=

CP

，
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）若過點A的直線l與動點P的軌跡交于M、N兩點，

QM

•

QN

=97，其中Q（-1，0），求直線l的方程．

Answer 1

（1）設B（0，b），C（c，0），P（x，y），則

AB

=(-8，b)，

BP

=(x，y-b)，
∴

AB

•

BP

=-8x+b（y-b）=0 ①
由

BC

=

CP

，得（c，-b）=（x-c，y），
∴b=-y，
代入①并化簡得，y²=4x；
（2）設l：x=my+8 ②
把②代入y²=4x，整理得
y²-4my-32=0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則
y₁+y₂=4m，y₁y₂=-32．
由②得，x1+x2=m(y1+y2)+16=4m2+16，
x₁x₂=（my₁+8）（my₂+8）=m²y₁y₂+8m（y₁+y₂）+64=64
∴

QM

•

QN

=(x1+1)(x2+1)+y1y2
=x₁x₂+（x₁+x₂）+1+y₁y₂
=64+4m²+16+1-32
=4m²+49=97，
解得：m=土2

3

，
∴l：x土2

3

y-8=0．