【題目】如圖所示，在四棱錐
中，底面四邊形
為等腰梯形，
為
中點，
平面
，
．
（1）證明：平面
平面
；
（2）若直線
與平面
所成的角為30°，求二面角
的余弦值．
【答案】（1）詳見解析（2）
【解析】
試題分析：（1）證明面面垂直，實質為證明線面垂直，而線面垂直的證明，往往從兩個方面進行，一是結合平幾知識尋找線線垂直，本題直角給出
另一方面，結合立幾中線面垂直條件
平面
得線線垂直
（2）涉及二面角問題，一般利用空間向量進行解決，首先根據題意建立恰當的空間直角坐標系，設立各點坐標，利用方程組求各面的法向量，結合向量數量積求向量夾角，最后根據二面角與向量夾角的關系，求出二面角的余弦值
試題解析：（1）因為
平面
平面
，所以，．
又因為
，
所以
平面
，
而
平面
，所以平面
平面
．
（2）設
和
相交于點
，連接
，
由（1）知，
平面
，
所以
是直線
與平面
所成的角，從而
，
在
中，由
，得
，
因為四邊形
為等腰梯形，
，
所以
均為等腰直角三角形，所以
，
所以
，
以
為原點，分別以
為
軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則
所以
，
設平面
的一個法向量為
，
由
得
，
令
，得
，
設平面
的一個法向量為
，
由
得
，
令
，得
，
所以
，
因為二面角
的平面角為銳角，
所以二面角的余弦值為．
核心素養學練評系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】四個小動物換座位,開始時鼠、猴、兔、貓分別坐1,2,3,4號座位上(如圖).第1次前后排動物互換座位,第2次左右列動物互換座位……這樣交替進行下去,那么第2 005次互換座位后,小兔的座位號是( )
1鼠 | 2猴 |
3兔 | 4貓 |
開始
1兔 | 2貓 |
3鼠 | 4猴 |
第一次
1貓 | 2兔 |
3猴 | 4鼠 |
第二次
1猴 | 2鼠 |
3貓 | 4兔 |
第三次
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某射手射擊所得環數ξ的分布列如下:
ξ | 7 | 8 | 9 | 10 |
P | x | 0.1 | 0.3 | y |
已知ξ的數學期望E(ξ)=8.9,則y的值為( ).
A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在某次測量中得到的A樣本數據如下:82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B樣本數據恰好是A樣本數據每個都加2后所得數據,則A,B兩樣本的下列數字特征對應相同的是( )
A. 眾數 B. 平均數 C. 標準差 D. 中位數
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，一個側棱長為
的直三棱柱
容器中盛有液體（不計容器厚度）.若液面恰好分別過棱
中點
.
（1）求證：平面
平面
；
（2）當底面
水平放置時，求液面的高.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】等差數列{an}的公差不為零,首項a1=1,a2是a1和a5的等比中項,則數列的前10項之和是( )
A. 90 B. 100 C. 145 D. 190
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的中心在原點
，焦點在
軸上，離心率為
，右焦點到右頂點的距離為
．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）是否存在與橢圓交于
兩點的直線
：
，使得
成立？若存在，求出實數
的取值范圍，若不存在，請說明理由．
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