Question

拋物線在點(diǎn)，處的切線垂直相交于點(diǎn)，直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的左焦點(diǎn)的距離；
（2）設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，試問：是否存在直線，使得，，成等比數(shù)列？若存在，求直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）;（2）不存在.

試題分析：（1）分別求出拋物線與橢圓的焦點(diǎn)，利用兩點(diǎn)間距離公式求解；（2）設(shè)直線與拋物線相交于與橢圓相交于,,所以直線與拋物線方程聯(lián)立，得到和然后利用,求出切線，的斜率，利用切線垂直，,解出m,然后分別設(shè)出過點(diǎn)的切線方程，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式求,直線與曲線相交的弦長(zhǎng)公式求,若，，成等比數(shù)列，則,化簡(jiǎn)等式，通過看方程實(shí)根情況.
試題解析：（I）拋物線的焦點(diǎn)，               1分
橢圓的左焦點(diǎn)，           2分
則．                       3分
（II）設(shè)直線，，，，，
由，得，        4分
故，．
由，得，
故切線，的斜率分別為，，
再由，得，
即，
故，這說明直線過拋物線的焦點(diǎn)．       7分
由，得，
,即．     8分
于是點(diǎn)到直線的距離.    9分
由，得，     10分
從而，       11分
同理，．                  12分
若，，成等比數(shù)列，則，              13分
即，
化簡(jiǎn)整理，得，此方程無實(shí)根，
所以不存在直線，使得，，成等比數(shù)列．          15分