Question

【題目】為回饋顧客，新華都購物商場擬通過摸球兌獎的方式對500位顧客進行獎勵，規定：每位顧客從一個裝有4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球（球的大小、形狀一模一樣），球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵額.

（1）若袋中所裝的4個球中有1個所標的面值為40元，其余3個所標的面值均為20元，求顧客所獲的獎勵額的分布列及數學期望；

（2）商場對獎勵總額的預算是30000元，并規定袋中的4個球由標有面值為20元和40元的兩種球共同組成，或標有面值為15元和45元的兩種球共同組成．為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡．請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設計，并說明理由．

提示：袋中的4個球由標有面值為a元和b元的兩種球共同組成，即袋中的4個球所標的面值“既有a元又有b元”．

Answer 1

【答案】（1）分布列見解析；期望為50；（2）應該選擇面值設計方案“”，即標有面值元和面值元的球各兩個

【解析】

（1）設顧客獲得的獎勵額為，隨機變量的可能取值為,分別求出對應概率，列出分布列并求出期望即可；（2）分析可知期望為60元，討論兩種方案：若選擇“”的面值設計，只有“”的面值組合符合期望為60元，求出方差；當球標有的面值為元和元時，面值設計是“”符合期望為60元，求出方差，比較兩種情況的方差，即可得出結論.

解：（1）設顧客獲得的獎勵額為，隨機變量的可能取值為.

，，

所以的分布列如下：

所以顧客所獲的獎勵額的期望為

（2）根據商場的預算，每個顧客的平均獎勵額為元.

所以可先尋找使期望為60元的可能方案：

當球標有的面值為元和元時，

若選擇“”的面值設計，因為元是面值之和的最大值，所以期望不可能為；

若選擇“”的面值設計，因為元是面值之和的最小值，所以期望不可能為.

因此可能的面值設計是選擇“”，

設此方案中顧客所獲得獎勵額為，則的可能取值為.

.

的分布列如下：

所以的期望為

的方差為

當球標有的面值為元和元時，同理可排除“”、“ ”的面值設計，

所以可能的面值設計是選擇“”，

設此方案中顧客所獲的獎勵額為，則的可能取值為.

.

的分布列如下：

所以的期望為

的方差為

因為

即兩種方案獎勵額的期望都符合要求，

但面值設計方案“”的獎勵額的方差要比面值設計方案“”的方差小，

所以應該選擇面值設計方案“”，即標有面值元和面值元的球各兩個.