Question

【題目】已知函數(shù)

（1）試討論在極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）若函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為，且，為的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)性，從而可求出極值的個(gè)數(shù)；（2）先求出函數(shù)的表達(dá)式，進(jìn)而可得到極值點(diǎn)的關(guān)系，可用來表示及，代入的表達(dá)式，然后構(gòu)造函數(shù)關(guān)于的函數(shù)，求出值域即可.

解：（1）易知定義域?yàn)?/span>，.

①當(dāng)時(shí)，恒成立，在為增函數(shù)，沒有極值點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，恒成立，在為增函數(shù)，沒有極值點(diǎn)；

③當(dāng)時(shí)，，

由，令得，令得，

則在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故只有一個(gè)極大值點(diǎn)，沒有極小值點(diǎn)；

④當(dāng)時(shí)，由，令得，令得,

則在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故只有一個(gè)極小值點(diǎn)，沒有極大值點(diǎn).

（2）由條件得且有兩個(gè)根，滿足，

或，

因?yàn)?/span>，所以，故符合題意.

因?yàn)楹瘮?shù)的對(duì)稱軸，，所以.

，

則，

因?yàn)?/span>，所以，

，

，

令，則，

顯然在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

，

，

則.

故的取值范圍是.