Question

數列a_n中，a₁=1，且點（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在函數f（x）=x+2的圖象上．
（Ⅰ）求數列a_n的通項公式；
（Ⅱ）在數列a_n中，依次抽取第3，4，6，…，2^n-1+2，…項，組成新數列b_n，試求數列b_n的通項b_n及前n項和S_n．

Answer 1

（Ⅰ）∵點（a_n，a_n+1）在函數f（x）=x+2的圖象上，
∴a_n+1=a_n+2．（2分）．
∴a_n+1-a_n=2，即數列a_n是以a₁=1為首項，2為公差的等差數列，（4分）．
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．（6分）
（Ⅱ）依題意知：bn=a2n-1+2=2(2n-1+2)-1=2n+3，（8分）
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=

n

i=1

(2i+3)=

n

i=1

2i+3n=

2-2n+1

1-2

+3n=2n+1+3n-2．（12分）