Question

【題目】如圖，在四棱錐中，已知底面是邊長為2的菱形，平面，，，分別是棱，的中點．

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）可先證線線平行，然后根據線面平行的判定定理證明線面平行，也可先根據線線平行證明面面平行，再根據面面平行證明線面平行；

（2）可利用傳統法，先找到線在直角三角形求線面角的正弦值，也可根據題中的線面位置關系建立空間直角坐標系，利用空間向量法進行求解．

（1）如圖所示，取的中點，連接，，

因為是棱的中點，所以是的中位線，所以，

又因為平面，平面，所以平面，

又由是棱的中點，為的中點，可得，

又因為平面，平面，所以平面，

又由，且平面，所以平面平面，

又因為平面，所以平面．

（2）取的中點，連接，由是等邊三角形，所以，

又，所以，

因為平面，平面，所以，，

所以，，兩兩垂直，故以為坐標原點，，，所在直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，

故，，．

設平面的法向量為，則，即，

令，則，故為平面的一個法向量，

設直線與平面所成的角為，

則，

所以直線與平面所成角的正弦值為．