Question

【題目】對(duì)定義在上的函數(shù)和常數(shù)，，若恒成立，則稱(chēng)為函數(shù)的一個(gè)“凱森數(shù)對(duì)”.

（1）若是的一個(gè)“凱森數(shù)對(duì)”，且，求；

（2）已知函數(shù)與的定義域都為，問(wèn)它們是否存在“凱森數(shù)對(duì)”？分別給出判斷并說(shuō)明理由；

（3）若是的一個(gè)“凱森數(shù)對(duì)”，且當(dāng)時(shí)，，求在區(qū)間上的不動(dòng)點(diǎn)個(gè)數(shù)（函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)即為方程的解）.

Answer 1

【答案】（1）7；（2）存在“凱森數(shù)對(duì)”，不存在“凱森數(shù)對(duì)”；（3）0.

【解析】

（1）由定義有，因此由這個(gè)遞推式由已知可依次計(jì)算出；

（2）根據(jù)新定義對(duì)兩個(gè)函數(shù)分別判斷；

（3）求出時(shí)，的解析式，然后解方程，此方程在上無(wú)解，從而無(wú)不動(dòng)點(diǎn)，由此可得在上無(wú)不動(dòng)點(diǎn)．

（1）由題意，∵，∴，，，；

（2）設(shè)是的一個(gè)“凱森數(shù)對(duì)”，則，即，由于是上的任意實(shí)數(shù)，∴，∴存在“凱森數(shù)對(duì)”，

設(shè)是的一個(gè)“凱森數(shù)對(duì)”，則，對(duì)確定的，此等式最多有兩個(gè)使它能成立，不可能對(duì)上的任意實(shí)數(shù)都成立，∴不存在“凱森數(shù)對(duì)”．

（3）根據(jù)新定義，，

當(dāng)（）時(shí)，，

，

由，得，解得或，均不屬于，

即在上無(wú)不動(dòng)點(diǎn)．

由于，

∴在上無(wú)不動(dòng)點(diǎn)．不動(dòng)點(diǎn)個(gè)數(shù)為0.