Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q為AD的中點，M是棱PC上的點，PA=PD=2，BC= AD=1，CD= ．

（1）求證：平面PQB⊥平面PAD；
（2）若二面角M﹣QB﹣C為30°，求線段PM與線段MC的比值t．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AD∥BC，BC= AD，Q為AD的中點．

∴四邊形BCDQ為平行四邊形，∴CD∥BQ．

∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，即QB⊥AD．

又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴BQ⊥平面PAD．∵BQ平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD.

（2）解：∵PA=PD，Q為AD的中點．∴PQ⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PQ⊥平面ABCD（6分）

如圖，以Q為原點，QA為x軸，QB為y軸，QP為z軸，建立空間直角坐標系．

則平面BQC的一個法向量為 =（0，0，1），

Q（0，0，0），P（0，0， ），B（0， ，0），C（﹣1， ，0）．

設M（x，y，z），則 =（x，y，z﹣ ）， =（﹣1﹣x， ﹣y，﹣z），

∵ =t ，

∴ ，∴ ．

在平面MBQ中， =（0， ，0）， =（﹣ ， ， ），

設平面MBQ的一個法向量 =（x，y，z），

則 ，取x= ，得 =（ ），

∵二面角MBQC為30°，cos30°=|cos＜ ＞|= = = ，

解得t=3．

【解析】（1）推導出四邊形BCDQ為平行四邊形，從而CD∥BQ．又QB⊥AD．從而BQ⊥平面PAD，由此能證明平面PQB⊥平面PAD．（2）以Q為原點，QA為x軸，QB為y軸，QP為z軸，建立空間直角坐標系．利用向量法能求出t的值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用平面與平面垂直的判定的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．