Question

設函數y=x²-3×2^n-1x+2×4^n-1（n∈N^*）的圖象在x軸上截得的線段長為d_n，記數列{d_n}的前n項和為S_n，若存在正整數n，使得log₂（S_n+1） m-n2≥60成立，則實數m的最小值為

 

．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：令y=x²-3×2^n-1x+2×4^n-1=0，可得d_n=x₂-x₁=2^n-1．利用等比數列的前n項和公式可得S_n=2ⁿ-1．log₂（S_n+1） m-n2≥60化為n（m-n²）≥60，
m≥

60

n

+n2，變形利用基本不等式的性質即可得出．

解答： 解：令y=x²-3×2^n-1x+2×4^n-1=0，解得x1=2n-1，x2=2×2n-1，
∴d_n=x₂-x₁=2^n-1．
∴S_n=

2n-1

2-1

=2ⁿ-1．
∴log₂（S_n+1） m-n2≥60化為n（m-n²）≥60，
∴m≥

60

n

+n2=

30

n

+

30

n

+n2≥3

3	30 n • 30 n •n2

=90，
取n=3時，m取得最小值29．
故答案為：29．

點評：本題考查了等比數列的前n項和公式、基本不等式的性質、一元二次方程的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．