Question

設A、B兩點的坐標分別是（1，0）、（-1，0），若k_MA·k_MB=-1，求動點M的軌跡方程.

Answer 1

解：設M的坐標為(x,y),M屬于集合P=｛Ｍ｜k_MA·k_MB＝－１｝.由斜率公式,點M所適合的條件可表示為(x≠±1),整理，得x²+y²=1(x≠±1).

下面證明x²+y²=1(x≠±1)是點M的軌跡方程.

(1)由求方程的過程，可知M的坐標都是方程x²+y²=1(x≠±1)的解;

(2)設點M₁的坐標(x₁,y₁)是方程x²+y²=1(x≠±1)的解,

即x₁²+y₁²=1(x₁≠±1),y₁²=1-x₁²(x₁≠±1),

∴k_M1A·k_M1B＝－１.

由上述證明，可知方程x²+y²=1(x≠±1)是點M的軌跡方程.

綠色通道：求曲線方程時，如果沒有坐標系，首先應建立適當的坐標系.建立適當的坐標系能使求軌跡方程的過程較“簡單”，所求方程的形式較“整齊”.

黑色陷阱：

本例所求的方程中，容易漏掉條件x≠±1.