Question

【題目】如圖，，是離心率為的橢圓的左、右頂點，，是該橢圓的左、右焦點，，是直線上兩個動點，連接和，它們分別與橢圓交于點，兩點，且線段恰好過橢圓的左焦點.當時，點恰為線段的中點.

（1）求橢圓的方程；

（Ⅱ）判斷以為直徑的圓與直線位置關系，并加以證明.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）以為直徑的圓始終與直線相切

【解析】

（Ⅰ）由當時，點恰為線段的中點，得到，再由，即可求出，得到橢圓方程；

（Ⅱ）先由題意可知直線不可能平行于軸，設的方程為：，、，聯立直線與橢圓方程，根據韋達定理、弦長公式等，結合題中條件，即可得出結論.

解：（Ⅰ）當時，點恰為線段的中點，

，又，聯立解得：，，，

橢圓的方程為.

（Ⅱ）由題意可知直線不可能平行于軸，

設的方程為：，、，

聯立得： ，

，

（*）

又設，由、、三點共線得，

同理可得.

.

設中點為，則坐標為即，

點到直線的距離.

故以為直徑的圓始終與直線相切.