Question

設P是雙曲線

x2

4

-

y2

16

=1右支上的任意一點，經過點P的直線與雙曲線的漸近線分別交于A、B兩點，△AOB的面積是9．且

AP

=λ

PB

（λ＞0），則λ的值是

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,平面向量及應用,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：求出雙曲線的漸近線方程，設P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁=2x₁，y₂=-2x₂，運用定比分點坐標公式，得到x，y的關系式，再代入雙曲線方程，求得|OA|，|OB|，再求兩漸近線的夾角的正弦，由三角形的面積公式，解方程即可求得λ的值．

解答： 解：雙曲線

x2

4

-

y2

16

=1的漸近線方程為y=±2x，
設P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁=2x₁，y₂=-2x₂，
∵

AP

=λ

PB

（λ＞0），
∴x=

x1+λx2

1+λ

，y=

y1+λy2

1+λ

=

2x1-2λx2

1+λ

=2•

x1-λx2

1+λ

，
由點P（x，y）在雙曲線

x2

4

-

y2

16

=1（a＞0，b＞0）上，
∴

(x1+λx2)2

4(1+λ)2

-

(x1-λx2)2

4(1+λ)2

=1，
化簡得：x₁x₂=

(1+λ)2

λ

，
又|OA|=

x12+4x12

=

5

|x₁|，同理可得|OB|=

5

|x₂|，
∴|OA|•|OB|=5|x₁|•|x₂|=5•

(1+λ)2

λ

，
設直線OA與OB所成的夾角為2θ，∵tanθ=

4

2

=2，
∴tan2θ=

2tanθ

1-tan2θ

=

2×2

1-4

=-

4

3

，
∴sin2θ=

4

9+16

=

4

5

，
∴S_△AOB=

1

2

•|OA|•|OB|sin2θ=

1

2

×5•

(1+λ)2

λ

×

4

5

=2•

(1+λ)2

λ

=9，
解得，λ=

1

2

或2．
故答案為：

1

2

或2．

點評：本題考查雙曲線的標準方程與性質的綜合應用，考查直線與圓錐曲線的位置關系，考查運算能力，屬于中檔題．