Question

如圖，四邊形ABCD為正方形，在四邊形ADPQ中，PD∥QA．又QA⊥平面ABCD，QA=AB=

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PD．
（1）證明：PQ⊥平面DCQ；
（2）CP上是否存在一點R，使QR∥平面ABCD，若存在，請求出R的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）要證明線面垂直PQ⊥平面DCQ，根據其判定定理，需要證明PQ垂直于平面DCQ內的兩條相交直線，由已知可證明CD⊥PQ，只要再證明PQ⊥DQ即可．
（2）只要分別取PC、CD的中點，再利用三角形的中位線和平行四邊形的判定與性質即可得到結論．

解答：解：（1）法一：∵QA⊥平面ABCD，∴QA⊥CD，
由四邊形ABCD為正方形知DC⊥AD，
又QA、AD為平面PDAQ內兩條相交直線，∴CD⊥平面PDAQ，∴CD⊥PQ．
在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=

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PD，∴PQ²+DQ²=PD²．
由勾股定理得逆定理得：PQ⊥QD．
又CD、QD為平面ADCB內兩條相交直線，∴PQ⊥平面DCQ．
法二：∵QA⊥平面ABCD，QA?平面PDAQ，∴平面PDAQ⊥平面ABCD，交線為AD．
又四邊形ABCD為正方形，DC⊥AD，∴DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC．
在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=

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PD，則PQ⊥QD．
又CD、QD為平面ADCB內兩條相交直線，
∴PQ⊥平面DCQ．
（2）存在CP中點R，使QR∥平面ABCD．
證：取CD中點T，連接QR，RT，AT，由三角形的中位線定理得：RT∥DP，且RT=

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DP，
又AQ∥DP，且AQ=

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DP，從而AQ∥RT，且AQ=RT，
∴四邊形AQRT為平行四邊形，所以AT∥QR．
∵QR?平面ABCD，AT?平面ABCD，
∴QR∥平面ABCD．
即存在CP中點R，使QR∥平面ABCD

點評：掌握線面、面面平行和垂直的判定與性質定理是解題的關鍵．