Question

在實數集R中定義一種運算“*”，對于任意給定的a，b∈R，a*b為唯一確定的實數，且具有性質；
（1）對任意a，b∈R，a*b=b*a；
（2）對任意a∈R，a*0=a；
（3）對任意a，b∈R，（a*b）*c=c*（ab）+（a*c）+（c*b）-2c．
關于函數f(x)=(3x)*(

1

3x

)的性質，有如下說法：
①函數f（x）的最小值為3；
②函數f（x）為奇函數；
③函數f（x）的單調遞增區間為(-∞，-

1

3

)，(

1

3

，+∞)．
其中所有正確說法的序號為

③

．

Answer 1

分析：對于新定義的運算問題常常通過賦值法得到一般性的結論，對f（x）的解析式進行化簡，利用導數法分析出函數的單調性和最值，再利用函數奇偶性的定義分析出函數的奇偶性，可得答案．

解答：解：由新運算“*”的定義（3）令c=0，則a*b=ab+a+b
∴f(x)=(3x)*(

1

3x

)=1+3x+

1

3x

，
∴f′（x）=3-

1

3x2

，令f′（x）=0
則x=±

1

3

，
∵當x∈(-∞，-

1

3

)，(

1

3

，+∞)時，f′（x）＞0
∴函數f（x）的單調遞增區間為(-∞，-

1

3

)，(

1

3

，+∞)正確；
根據對勾函數的圖象和性質，可得
在區間(-∞，-

1

3

)，(

1

3

，+∞)上，函數圖象向下，向上無限延長
故函數f（x）的最小值為3錯誤；
又∵f（-x）=1-3x-

1

3x

與-f（x）=-1-3x-

1

3x

不相等，
故函數f（x）為奇函數錯誤
故答案為：③

點評：本題是一個新定義運算型問題，考查了函數的最值、奇偶性、單調性等有關性質以及同學們類比運算解決問題的能力．