Question

【題目】為了整頓食品的安全衛生，食品監督部門對某食品廠生產的甲、乙兩種食品進行了檢測調研，檢測某種有害微量元素的含量，隨機在兩種食品中各抽取了10個批次的食品，每個批次各隨機地抽取了一件，下表是測量數據的莖葉圖（單位：毫克）

規定：當食品中的有害微量元素含量在[0，10]時為一等品，在（10，20]為二等品，20以上為劣質品．
（1）用分層抽樣的方法在兩組數據中各抽取5個數據，再分別從這5個數據中各選取2個．求甲的一等品數與乙的一等品數相等的概率；
（2）每生產一件一等品盈利50元，二等品盈利20元，劣質品虧損20元．根據上表統計得到的甲、乙兩種食品為一等品、二等品、劣質品，的頻率分別估計這兩種食品為，一等品、二等品、劣質品的概率．若分別從甲、乙食品中各抽取l件，設這兩件食品給該廠帶來的盈利為X，求隨機變量X的概率分布和數學期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：從甲抽取的5個數據中，一等品有4× =2個，非一等品有3個，從乙抽取的5個數據中，一等品有6× =3個，非一等品有2個，

設”從甲中抽取的5個數據中任取2個，一等品個數為i”為事件Ai，（i=0，1，2）則P（A0）= = ，P（A1）= = ，P（A2）= = ，

設”從乙中抽取的5個數據中任取2個，一等品個數為i”為事件Ai，（i=0，1，2）則P（B0）= = ，P（B1）= = ，P（B0）= = ，

∴甲的一等品數與乙的一等品數相等的概率為：

P=P（A2B2）+P（A1B1）+P（A0B0）= + + =

（2）解：由題意，設“從甲中任取一件為一等品”為事件C1，則P（C1）= = ，

設“從甲中任取一件為二等品”為事件C2，則P（C2）= = ，

設“從甲中任取一件劣質品”為事件C3，則P（C3）= = ，

設“從乙中任取一件為一等品”為事件D1，則P（D1）= = ，

設“從乙中任取一件為二等品”為事件D2，則P（D2）= = ，

設“從乙中任取一件劣質品”為事件D3，則P（D3）= = ，

X可取﹣40，0，30，40，70，100，

P（X=﹣40）=P（C3D3）= × = ，

P（X=30）=P（C1D3+C3D1）= + = = ，

P（X=0）=P（C3D2+C2D3）= × + = ，

P（X=40）=P（C2D2）= = ，

P（X=70）=P（C1D2+C2D1）= + = ，

P（X=100）=P（C1D1）= = ，

∴X的分布列為：

X	﹣40	0	30	40	70	100
P

∴E（X）=﹣40× +0× +30× +40× +70× +100× =49.2

【解析】（1）由已知條件，利用互斥事件的概率加法公式能甲的一等品數與乙的一等品數相等的概率概率．（2）隨機變量X的所有可能取值為X可取﹣40，0，30，40，70，100，分別求出相對應的概率，由此能求出隨機變量X的概率分布和數學期望
【考點精析】本題主要考查了莖葉圖和離散型隨機變量及其分布列的相關知識點，需要掌握莖葉圖又稱“枝葉圖”，它的思路是將數組中的數按位數進行比較，將數的大小基本不變或變化不大的位作為一個主干（莖），將變化大的位的數作為分枝（葉），列在主干的后面，這樣就可以清楚地看到每個主干后面的幾個數，每個數具體是多少；在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列才能正確解答此題．