Question

已知函數，其中，是自然對數的底數.
（1）求函數的零點；
（2）若對任意均有兩個極值點，一個在區間（1，4）內，另一個在區間[1，4]外，求a的取值范圍；
（3）已知，且函數在R上是單調函數，探究函數的單調性.

Answer 1

（1）（2）（3）函數在R上是減函數

試題分析：（1）
把的零點問題轉化為方程的根的問題.
（2）因為，由題設可知有兩個兩點，其中一個在，一個在外，解這個不等式，可得實數的取值范圍.
（3）
由函數在R上是單調函數,所以,得到與的關系,然后由此關系推出.
試題解析：
解：（1），
令g(x)="0," 有e^x－1=0，即x=0；或 x²－2x－a=0；,
①當時，函數有1個零點 ；  1分
②當時，函數有2個零點；2分
③當時，函數有兩個零點；3分
④當時，函數有三個零點：
   4分
（2），5分
設，的圖像是開口向下的拋物線，
由題意對任意有兩個不等實數根，
且則對任意,
即,有，7分
又任意關于遞增, ,
故，所以.
所以的取值范圍是  9分
（3）由(2)知, 存在，又函數在R上是單調函數，故函數在R上是單調減函數, 10分
對來說
即 11分  
所以對于函數來說
由知 12分
即對任意
故函數在R上是減函數.   13分