Question

對于定義域為D的函數y=f（x），如果存在區間[m，n]⊆D，同時滿足下列條件：①f（x）在[m，n]內是單調的；②當定義域是[m，n]時，f（x）的值域也是[m，n]時，則稱[m，n]是該函數的“和諧區間”．
（1）判斷函數y=3-

4

x

是否存在“和諧區間”，并說明理由；
（2）如果[m，n]是函數y=

(a2+a)x-1

a2x

(a≠0)的一個“和諧區間”，求n-m的最大值；
（3）有些函數有無數個“和諧區間”，如y=x，請你再舉一類（無需證明）

Answer 1

分析：（1）該問題是一個判斷性問題，從正面證明有一定的難度，故可采用反證法來進行證明，即先假設區間[m，n]為函數的“和諧區間”，然后根據函數的性質得到矛盾，進而得到假設不成立，原命題成立．
（2）設[m，n]是已知函數定義域的子集，我們可以用a表示出n-m的取值，轉化為二次函數的最值問題后，根據二次函數的性質，可以得到答案．
（3）根據“和諧區間”的定義，我們還可以寫出以下函數：y=a-x（a為常數），y=

k

x

（k＞o為常數）滿足有無數個“和諧區間”．

解答：解：（1）設[m，n]是函數y=3-

4

x

的“和諧區間”，則y=3-

4

x

在[m，n]上單調．
所以[m，n]⊆（-∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞）
因此，y=3-

4

x

在[m，n]上為增函數．
則f（m）=m，f（n）=n．即方程3-

4

x

=x有兩個解m，n
又3-

4

x

=x可化為x²-3x+4=0，而x²-3x+4=0無實數解．
所以，函數y=3-

4

x

不存在“和諧區間”
（2）因為f(x)=

(a2+a)x-1

a2x

=

a+1

a

-

1

a2x

在[m，n]上是單調的，
所以[m，n]⊆（-∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞）
則f（m）=m，f（n）=n
所以m，n是

a+1

a

-

1

a2x

=x的兩個同號的實數根
即方程a²x-（a²+a）x+1=0有兩個同號的實數根，注意到mn=

1

a2

＞0
只要△=（a²+a）²-4a²＞0，解得a＞1或a＜-3
所以n-m=

(m+n)2-4mn

=

( a2+a a2 )- 4 a2

=

- 3 a2 + 2 a +1

=

-3( 1 a - 1 3 )2+ 4 3

其中a＞1或a＜-3，所以，當a=3時，n-m取最大值

2 3

3

（3）答案不唯一，如可寫出以下函數：y=a-x（a為常數），y=

k

x

（k＞0為常數）

點評：本題主要以新定義為載體，綜合考查了函數的單調性、函數的最值方程的根的情況、二次函數的最值的求解，考查了利用已學知識解決新問題的能力，考查了推理運算的能力，本題綜合性較強．