Question

如圖是一個空間幾何體的主視圖、側視圖、俯視圖，如果三個直角三角形的面積之和為72，那么這個幾何體的外接球的表面積的最小值為（　　）

• A、72π
• B、144π
• C、288π
• D、不能確定

Answer 1

分析：三視圖復原幾何體是長方體的一個角，擴展為長方體設出長方體的三度，利用面積之和，基本不等式求出幾何體的外接球的直徑，然后求出面積的最小值．

解答：解：三視圖復原幾何體是長方體的一個角，它的外接球的直徑就是幾何體擴展為長方體的體對角線的長，長方體的三度為：a，b，c；所以ab+bc+ac=144，長方體的對角線為

a2+b2+c2

≥

2ab+2bc+2ac

=12，當且僅當a=b=c時取等號，
所以幾何體的外接球的表面積的最小值為：4π6²=144π．
故選B

點評：本題是基礎題，考查三視圖復原幾何體的圖形的判斷，幾何體的外接球的表面積的求法，基本不等式的應用，注意基本不等式等號成立的前提．