Question

已知函數f(x)＝－alnx，a∈R．
（Ⅰ）當f(x)存在最小值時，求其最小值φ(a)的解析式；
（Ⅱ）對（Ⅰ）中的φ(a)，
（ⅰ）當a∈(0，＋∞)時，證明：φ(a)≤1；
（ⅱ）當a＞0，b＞0時，證明：φ′()≤≤φ′()．

Answer 1

（Ⅰ）φ(a)＝a－alna（a＞0）；（Ⅱ）詳見解析.

試題分析：（Ⅰ）利用導數分析函數單調性，求最值；（Ⅱ）利用導數分析函數單調性，分類討論.
試題解析：(Ⅰ)求導數，得f ′(x)＝－＝（x＞0）．
（1）當a≤0時，f ′(x)＝＞0，f(x)在(0，＋∞)上是增函數，無最小值．
（2）當a＞0時，令f ′(x)＝0，解得x＝a²．
當0＜x＜a²時，f ′(x)＜0，∴f(x)在(0，a²)上是減函數；
當x＞a²時，f ′(x)＞0，∴f(x)在(a²，＋∞)上是增函數．
∴f(x)在x＝a²處取得最小值f(a²)＝a－alna．
故f(x)的最小值φ(a)的解析式為φ(a)＝a－alna（a＞0）．         6分
（Ⅱ）由（Ⅰ），知φ(a)＝a－alna（a＞0），
求導數，得φ′(a)＝－lna．
（ⅰ）令φ′(a)＝0，解得a＝1．
當0＜a＜1時，φ′(a)＞0，∴φ(a)在(0，1)上是增函數；
當a＞1時，φ′(a)＜0，∴φ(a)在(1，＋∞)上是減函數．
∴φ(a)在a＝1處取得最大值φ(1)＝1．
故當a∈(0，＋∞)時，總有φ(a)≤1．             10分
（ⅱ）當a＞0，b＞0時，
＝－＝－ln，               ①
φ′()＝－ln()≤－ln，                  ②
φ′()＝－ln()≥－ln＝－ln，        ③
由①②③，得φ′()≤≤φ′()．         14分