Question

（2013•浙江模擬）已知拋物線C的方程為y²=2px（p＞0），直線：x+y=m與x軸的交點在拋物線C準線的右側．
（Ⅰ）求證：直線與拋物線C恒有兩個不同交點；
（Ⅱ）已知定點A（1，0），若直線與拋物線C的交點為Q，R，滿足

AQ

•

AR

=0，是否存在實數m，使得原點O到直線的距離不大于

2

4

，若存在，求出正實數p的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）聯立x+y=m與y²=2px，證明△＞0，即可得到直線l與拋物線C恒有兩個不同交點；    
（Ⅱ）根據

AQ

•

AR

=0，結合韋達定理，求出p的表達式，利用原點O到直線l的距離不大于

2

4

，確定m的范圍，由此可得正實數p的取值范圍．

解答：（Ⅰ）證明：由題知m＞-

p

2

，
聯立x+y=m與y²=2px，消去x可得y²+2py-2pm=0…（*）
∵p＞0且m＞-

p

2

，∴△=4p²+8pm＞0，
所以直線l與拋物線C恒有兩個不同交點；                                 …4分
（Ⅱ）解：設Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），由（*）可得y₁+y₂=-2p，y₁•y₂=-2pm
故

AQ

•

AR

=(x1-1，y1)•(x2-1，y2)=(x1-1)(x2-1)+y1y2

=(m-1-y1)(m-1-y2)+y1y2

=2y₁y₂+（1-m）（y₁+y₂）+（m-1）²=m²-（2+2p）m+1-2p=0
∴p=

(m-1)2

2(m+1)

=

m+1

2

+

2

m+1

-2
又由原點O到直線l的距離不大于

2

4

，則有-

1

2

≤m≤

1

2

，
由（Ⅰ）有m＞-

p

2

，即m＞-

1

4

(m-1)2

m+1

，結合-

1

2

≤m≤

1

2

，化簡該不等式得：5m²+2m+1＞0，恒成立，
∴-

1

2

≤m≤

1

2

，令t=m+1，則t∈[

1

2

，

3

2

]
而函數y=

t

2

+

2

t

-2在[

1

2

，

3

2

]上單調遞減，∴

1

12

≤p≤

9

4

∴存在m且-

1

2

≤m≤

1

2

，實數p的取值范圍為[

1

12

，

9

4

]．…10分．

點評：本題考查直線與拋物線的位置關系，考查向量知識的運用，考查函數的單調性，確定p的表達式是關鍵．