Question

某高校在2011年的自主招生考試成績中隨機抽取100名學生的筆試成績，按成績分組，得到的頻率分布表如圖所示．

組號	分組	頻數	頻率
第1組	[160，165）	5	0.050
第2組	[165，170）	35	0.350
第3組	[170，175）	30	0.300
第4組	[175，180）	20	0.200
第5組	[180，185）	10	0.100
合計		100	1.00

（I）為了能選拔出最優秀的學生，高校決定在筆試成績高的第3、4、5組中用分層抽樣抽取6名學生進入第二輪面試，求第3、4、5組每組各抽取多少名學生進入第二輪面試？
（II）在（I）的前提下，學校決定在這6名學生中，隨機抽取2名學生接受A考官進行面試，請列舉出抽取2名學生的所有可能；請列舉出第4組至少有一名學生被考官A面試的所有可能；并求第4組至少有一名學生被考官A面試的概率．

Answer 1

分析：（I）因為第3、4、5組共有60名學生，所以利用分層抽樣在60名學生中抽取6名學生，抽樣比為

1

10

，由此能求出第3、4、5組分別抽取多少人．
（II）設第3組的3位同學為A₁，A₂，A₃，第4組的2位同學為B₁，B₂，第5組的1位同學為C₁，從六位同學中抽兩位同學有15種可能，其中第4組的2位同學為B₁，B₂至少有一位同學入選的有9種可能，由此能求出其中第4組的2位同學為B₁，B₂至少有一位同學入選的概率．

解答：解：（I）因為第3、4、5組共有60名學生，
所以利用分層抽樣在60名學生中抽取6名學生，每組分別為：
第3組：

30

60

×6=3人，…（1分）
第4組：

20

60

×6=2人，…（2分）
第5組：

10

60

×6=1人，…（3分）
所以第3、4、5組分別抽取3人、2人、1人
（II）設第3組的3位同學為A₁，A₂，A₃，
第4組的2位同學為B₁，B₂，第5組的1位同學為C₁，
則從六位同學中抽兩位同學有15種可能如下：
（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₁，B₁），（A₁，B₂），
（A₁，C₁），（A₂，A₃），（A₂，B₁），（A₂，B₂），
（A₃，C₁），（B₁，B₂），（B₁，C₁），（B₂，C₁），…（6分）
其中第4組的2位同學為B₁，B₂至少有一位同學入選的有：
（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，B₁），
（A₃，B₂），（B₁，B₂），（B₁，C₁），（B₂，C₁）9種可能，…（9分）
所以其中第4組的2位同學為B₁，B₂至少有一位同學入選的概率為

9

15

=

3

5

．…（12分）

點評：本題考查列舉法計算基本事件數和事件發生的概率，是基礎題．解題時要認真審題，避免重復和遺漏．