Question

【題目】已知函數f（x）=1n（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）若f（x）≤0恒成立，試確定實數k的取值范圍；
（3）證明： 且n＞1）

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=1n（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1，

∴x＞1， ，

∵x＞1，∴當k≤0時， ＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函數；

當k＞0時，f（x）在（1，1+ ）上是增函數，在（1+ ，+∞）上為減函數

（2）解：∵f（x）≤0恒成立，

∴x＞1，ln（x﹣1）﹣k（x1）+1≤0，

∴x＞1，ln（x﹣1）≤k（x﹣1）﹣1，

∴k＞0．

由（1）知，f（x）max=f（1+ ）=ln ≤0，

解得k≥1．

故實數k的取值范圍是[1，+∞）

（3）證明：令k=1，則由（2）知：ln（x﹣1）≤x﹣2對x∈（1，+∞）恒成立，

即lnx≤x﹣1對x∈（0，+∞）恒成立．

取x=n2，則2lnn≤n2﹣1，

即 ，n≥2，

∴ 且n＞1）

【解析】（1）由f（x）=1n（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1，知x＞1， ，由此能求出f（x）的單調區間．（2）由f（x）≤0恒成立，知x＞1，ln（x﹣1）≤k（x﹣1）﹣1，故k＞0．f（x）max=f（1+ ）=ln ≤0，由此能求出實數k的取值范圍．（3）令k=1，能夠推導出lnx≤x﹣1對x∈（0，+∞）恒成立．取x=n2 ， 得到 ，n≥2，由此能夠證明 且n＞1）．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用利用導數研究函數的單調性和不等式的證明的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，函數單調性法，數學歸納法等．