Question

（本小題12分）已知拋物線C：過點A
（1）求拋物線C 的方程；
（2）直線過定點，斜率為，當取何值時，直線與拋物線C只有一個公共點。

Answer 1

（I）；（2）當時，直線與拋物線C只有一個公共點。

試題分析：（Ⅰ）由題意設拋物線的方程為y²=2px，把A點坐標（1，-2）代入方程得P的值，由此能求出拋物線的標準方程．
（Ⅱ）由題意，直線l的方程為y=kx+2k+1，由方程組y²=4x和y=kx+2k+1聯立，得ky²-4y+4（2k+1）=0，對于參數k進行分類討論，這時直線l拋物線有一個公共點．
解：（I）將（1，-2）代入，得，
所以p=2；故所求的拋物線C的方程為
（2）由得：，
①當時，代入得，
這時直線與拋物線C相交，只有一個公共點
②當時，，時
直線與拋物線C相切，只有一個公共點
綜上，當時，直線與拋物線C只有一個公共點。
點評：解決該試題的關鍵是利用點求解解析式，同時能結合二次方程研究方程根的問題。