Question

給定直線動圓M與定圓外切且與直線相切．
（1）求動圓圓心M的軌跡C的方程；
（2）設A、B是曲線C上兩動點（異于坐標原點O），若求證直線AB過一定點，并求出定點的坐標.

Answer 1

（1）（2）

試題分析：解：（1）由已知可得：定圓的圓心為（－3，0），且M到（－3，0）的距離比它到直線的距離大1，∴M到（－3，0）的距離等于它到直線的距離，
∴動圓圓心M的軌跡為以F（－3，0）為焦點，直線為準線的拋物線，開口向左，
， ∴動圓圓心M的軌跡C的方程為：
（也可以用直接法：，然后化簡即得：）；
（2）方法一：經分析：OA,OB的斜率都存在，都不為0，設OA：，則OB：，
聯立和的方程求得A（，），同理可得B（，）,
∴, 即: ,
令,則,∴,∴直線AB與x軸交點為定點，
其坐標為。方法二：當AB垂直x軸時，設A，則B，
∵∴，∴
此時AB與x軸的交點為；
當AB不垂直x軸時，設AB：，聯立和有：
，∴，
∵∴，即：，
∴AB：，此時直線AB與x軸交點為定點，其坐標為,
綜上：直線AB與x軸交點為定點，其坐標為。
點評：對于題目涉及到關于直線和其他曲線的交點時，一般都可以用到跟與系數的關系式：在一元二次方程中，。