Question

已知a，b，c滿足a≠0且a≥b≥c，a+b+c=0，則函數f（x）=ax²+bx+c截x軸所得到的弦長的取值范圍為（　�。�

• A．[

  1

  2

  ，2]
• B．[

  3

  2

  ，3]
• C．[

  6

  2

  ，

  3

  ]
• D．[

  9

  4

  ，9]

Answer 1

分析：設f（x）=ax²+bx+c=0的兩個根分別為x₁和x₂，則函數f（x）=ax²+bx+c截x軸所得到的弦長為|x₁-x₂|，利用韋達定理得到|x₁-x₂|²=

b2-4ac

a2

，又有a+b+c=0，將b=-a-c代入到弦長表達式中，轉化為關于

c

a

的二次函數，結合a≥b≥c，求出

c

a

的取值范圍，利用二次函數求值域，即可求得弦長的取值范圍．

解答：解：設f（x）=ax²+bx+c=0的兩個根分別為x₁和x₂，則有x₁+x₂=-

b

a

，x₁ x₂=

c

a

，
∴函數f（x）=ax²+bx+c截x軸所得到的弦長=|x₁-x₂|²=(x1+x2)2-4x1x2=(-

b

a

)2-

4c

a

=

b2-4ac

a2

，
∵a+b+c=0，
∴b=-a-c，
∴|x₁-x₂|²=

b2-4ac

a2

=

(-a-c)2-4ac

a2

=(

c

a

)2-2(

c

a

)+1=(

c

a

-1)2，
∵a≥b≥c，即a≥-a-c≥c，解得，-2≤

c

a

≤-

1

2

，
∴當

c

a

=-2時，|x₁-x₂|²取最大值9，
當

c

a

=-

1

2

時，|x₁-x₂|²取最小值

9

4

，
∴|x₁-x₂|²的取值范圍為[

9

4

，9]，
∴函數f（x）=ax²+bx+c截x軸所得到的弦長的取值范圍為[

3

2

，3]．
故選B．

點評：本題主要考查一元二次方程的根的分布與系數的關系，以及二次函數求最值的問題，同時不等式的性質也略有體現，屬于方程、函數以及不等式的綜合應用．屬于中檔題．