Question

【題目】已知關于x的二次函數f(x)＝x2＋(2t－1)x＋1－2t.

(1)求證：對于任意t∈R，方程f(x)＝1必有實數根；

(2)若<t<，求證：方程f(x)＝0在區間(－1，0)及內各有一個實數根．

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)見解析

【解析】試題分析：（1）直接根據因式分解得方程的根（2）根據零點存在定理確定區間端點處函數值符號異號即可

試題解析：證明：(1)法一：由f(1)＝1知f(x)＝1必有實數根．

法二：由f(x)＝1可得x2＋(2t－1)x－2t＝0，

Δ＝(2t－1)2＋8t＝(2t＋1)2≥0，

∴f(x)＝1必有實根．

(2)當<t<時，因為f(－1)＝3－4t＝4>0，f(0)＝1－2t＝2<0，f＝＋ (2t－1)＋1－2t＝－t>0，所以方程f(x)＝0在區間(－1,0)及內各有一個實數根．